Η χρυσή αναλογία είναι μια αναλογία που θεωρείται η πιο τέλεια και αρμονική από την αρχαιότητα. Αποτελεί τη βάση πολλών αρχαίων κατασκευών, από αγάλματα έως ναούς, και είναι πολύ συνηθισμένο στη φύση. Ταυτόχρονα, αυτή η αναλογία εκφράζεται σε εκπληκτικά κομψές μαθηματικές κατασκευές.
Οδηγίες
Βήμα 1
Η χρυσή αναλογία ορίζεται ως εξής: είναι μια τέτοια διαίρεση ενός τμήματος σε δύο μέρη που το μικρότερο μέρος αναφέρεται στο μεγαλύτερο με τον ίδιο τρόπο όπως το μεγαλύτερο μέρος αναφέρεται σε ολόκληρο το τμήμα.
Βήμα 2
Εάν το μήκος ολόκληρου του τμήματος λαμβάνεται ως 1 και το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος λαμβάνεται ως x, τότε η αναλογία που θα αναζητηθεί θα εκφράζεται από την εξίσωση:
(1 - x) / x = x / 1.
Πολλαπλασιάζοντας τις δύο πλευρές της αναλογίας με x και μεταφέροντας τους όρους, λαμβάνουμε την τετραγωνική εξίσωση:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Βήμα 3
Η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, από τις οποίες φυσικά ενδιαφερόμαστε μόνο για το θετικό. Είναι ίσο με (√5 - 1) / 2, που είναι περίπου ίσο με 0, 618. Αυτός ο αριθμός εκφράζει τη χρυσή αναλογία. Στα μαθηματικά, συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα φ.
Βήμα 4
Ο αριθμός φ έχει έναν αριθμό αξιοσημείωτων μαθηματικών ιδιοτήτων. Για παράδειγμα, ακόμη και από την αρχική εξίσωση φαίνεται ότι 1 / φ = φ + 1. Πράγματι, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Βήμα 5
Ένας άλλος τρόπος για τον υπολογισμό του χρυσού λόγου είναι να χρησιμοποιήσετε ένα άπειρο κλάσμα. Ξεκινώντας από οποιοδήποτε αυθαίρετο x, μπορείτε να δημιουργήσετε διαδοχικά ένα κλάσμα:
Χ
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
και τα λοιπά.
Βήμα 6
Για τη διευκόλυνση των υπολογισμών, αυτό το κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως επαναληπτική διαδικασία, στην οποία για τον υπολογισμό του επόμενου βήματος, πρέπει να προσθέσετε ένα στο αποτέλεσμα του προηγούμενου βήματος και να διαιρέσετε ένα με τον αριθμό που προκύπτει. Με άλλα λόγια:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Αυτή η διαδικασία συγκλίνει και το όριό της είναι φ + 1.
Βήμα 7
Εάν αντικαταστήσουμε τον υπολογισμό της αμοιβαίας με την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας, δηλαδή, πραγματοποιούμε έναν επαναληπτικό βρόχο:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), τότε το αποτέλεσμα θα παραμείνει αμετάβλητο: ανεξάρτητα από το αρχικά επιλεγμένο x, οι επαναλήψεις συγκλίνουν στην τιμή φ + 1.
Βήμα 8
Γεωμετρικά, η χρυσή αναλογία μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας ένα κανονικό πεντάγωνο. Εάν τραβήξουμε δύο διαγώνιες διαγώνιες σε αυτό, τότε καθένα από αυτά θα διαιρέσει το άλλο αυστηρά με τη χρυσή αναλογία. Αυτή η παρατήρηση, σύμφωνα με τον μύθο, ανήκει στον Πυθαγόρα, ο οποίος σοκαρίστηκε τόσο πολύ από το ευρηματικό μοτίβο που θεώρησε το σωστό πεντάγραμμο αστέρι (πεντάγραμμα) ως ιερό θεϊκό σύμβολο.
Βήμα 9
Οι λόγοι για τους οποίους είναι η χρυσή αναλογία που φαίνεται σε ένα άτομο το πιο αρμονικό είναι άγνωστοι. Ωστόσο, τα πειράματα έχουν επιβεβαιώσει επανειλημμένα ότι τα άτομα στα οποία δόθηκε εντολή να χωρίσουν το τμήμα σε δύο άνισα μέρη το κάνουν πιο όμορφα σε αναλογίες πολύ κοντά στη χρυσή αναλογία.
